Задача 1 (Вариант I): Дано: \(\angle A = \angle B\), CO = 4, DO = 6, AO = 5. Найти: а) OB; б) AC: BD; в) \(S_{AOC}: S_{BOD}\)

**Решение:** а) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. \(\angle A = \angle B\) (дано), \(\angle AOC = \angle BOD\) (вертикальные углы). Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \(\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) Подставим известные значения: \(\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}\) Решим уравнение относительно BO: \(BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5\) **Ответ: OB = 7.5** б) Из подобия треугольников AOC и BOD следует, что: \(\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}\) Так как \(\frac{AO}{BO} = \frac{5}{7.5} = \frac{2}{3}\) или \(\frac{CO}{DO} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), то \(\frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\) **Ответ: AC: BD = 2:3** в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен \(\frac{2}{3}\), следовательно, \(\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) **Ответ: \(S_{AOC}: S_{BOD} = 4:9\)**