Задача 1 (Вариант II): Дано: PE || NK, MP = 8, MN = 12, ME = 6. Найти: а) MK; б) PE : NK; в) \(S_{MEP} : S_{MKN}\).

**Решение:** а) Так как PE || NK, то по теореме Фалеса (или по теореме о пропорциональных отрезках): \(\frac{MP}{PN} = \frac{ME}{EK}\) Нам известны MP, MN и ME, нужно найти MK. Сначала найдем PN и EK. PN = MN - MP = 12 - 8 = 4 Подставим известные значения в пропорцию: \(\frac{8}{4} = \frac{6}{EK}\) Решим уравнение относительно EK: EK = \(\frac{6 \cdot 4}{8} = 3\) MK = ME + EK = 6 + 3 = 9 **Ответ: MK = 9** б) Так как PE || NK, то треугольники MEP и MKN подобны по двум углам (\(\angle M\) - общий, \(\angle MEP = \angle MKN\) как соответственные при параллельных прямых PE и NK и секущей MK). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \(\frac{PE}{NK} = \frac{ME}{MK}\) Подставим известные значения: \(\frac{PE}{NK} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) **Ответ: PE : NK = 2:3** в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия равен \(\frac{2}{3}\), следовательно, \(\frac{S_{MEP}}{S_{MKN}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\) **Ответ: \(S_{MEP} : S_{MKN} = 4:9\)**