Задача 11. Представьте \(\sqrt{x^2-16x}\) в виде произведения двух квадратных корней, если: а) \(x>16\); б) \(x<0\).

а) При \(x>16\) имеем \(x>0\) и \(x-16>0\), поэтому подкоренное выражение раскладывается на произведение неотрицательных множителей:

\(\sqrt{x^2-16x}=\sqrt{x(x-16)}=\sqrt{x}\,\sqrt{x-16}\).

б) При \(x<0\) оба множителя \(x\) и \(x-16\) отрицательны, поэтому выражение \(\sqrt{x}\,\sqrt{x-16}\) не определено в действительных числах. Выделим положительные множители: \(x^2-16x=(-x)(16-x)\), где \(-x>0\), \(16-x>0\).

\(\sqrt{x^2-16x}=\sqrt{-x}\,\sqrt{16-x}\).

Ответ: а) \(\sqrt{x}\,\sqrt{x-16}\); б) \(\sqrt{-x}\,\sqrt{16-x}\).