Задача 2. Условие: На сторонах угла АВС отложены равные отрезки ВА=ВС. Через точки А и С проведены прямые, перпендикулярные соответственно сторонам АВ и ВС, которые пересекаются в точке К. Докажите, что AK=CK.

Решение:

Дано: \( \angle ABC \); BA = BC; прямая \( AK \perp AB \), прямая \( CK \perp BC \); \( AK \cap CK = K \).

Доказать: AK = CK.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBK \).
2. \( \angle ABC \) — общий угол для этих треугольников.
3. \( \angle BAK = \angle BCK = 90^{\circ} \) по условию.
4. По условию BA = BC.
5. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
6. В \( \triangle ABK \) и \( \triangle CBK \) сторона AB = BC, \( \angle BAK = \angle BCK \) и \( \angle ABK = \angle CBK \) (общий угол).
7. Следовательно, \( \triangle ABK = \triangle CBK \) по второму признаку равенства треугольников.
8. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны, значит, AK = CK.

Что и требовалось доказать.