Задача 6. Условие: В треугольнике PQR угол Р=50», угол Q=80. В треугольнике XYZ угол Y=50», угол Z=80°, а сторона YZ равна стороне PQ. Докажите, что треугольники PQR и XYZ равны. Укажите, какой признак использовали, и найдите все равные элементы.

Решение:

Дано: \( \triangle PQR \), \( \angle P = 50^{\circ}, \angle Q = 80^{\circ} \); \( \triangle XYZ \), \( \angle Y = 50^{\circ}, \angle Z = 80^{\circ} \); PQ = YZ.

Доказать: \( \triangle PQR = \triangle XYZ \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle PQR \). Сумма углов треугольника равна 180°.
\( \angle R = 180^{\circ} - \angle P - \angle Q = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. Рассмотрим \( \triangle XYZ \). Сумма углов треугольника равна 180°.
\( \angle X = 180^{\circ} - \angle Y - \angle Z = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ} \).
3. Теперь сравним \( \triangle PQR \) и \( \triangle XYZ \).
• \( \angle P = 50^{\circ} \) и \( \angle Y = 50^{\circ} \) → \( \angle P = \angle Y \).
• \( \angle Q = 80^{\circ} \) и \( \angle Z = 80^{\circ} \) → \( \angle Q = \angle Z \).
• \( \angle R = 50^{\circ} \) и \( \angle X = 50^{\circ} \) → \( \angle R = \angle X \).
• По условию PQ = YZ.
4. Мы видим, что \( \angle P = \angle Y \), \( \angle R = \angle X \), и сторона PQ (между углами P и R) равна стороне YZ (между углами Y и X, но в нашем случае Y и Z, а X и Y).
5. Однако, признак равенства треугольников, который здесь подходит, это второй признак: по стороне и двум прилежащим к ней углам.
6. В \( \triangle PQR \) сторона PQ прилежит к углам P и Q.
7. В \( \triangle XYZ \) сторона YZ прилежит к углам Y и Z.
8. У нас есть:
• \( \angle P = 50^{\circ} \) и \( \angle Y = 50^{\circ} \)
• \( \angle Q = 80^{\circ} \) и \( \angle Z = 80^{\circ} \)
• PQ = YZ
9. Признак гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
10. У нас есть PQ = YZ, \( \angle P = \angle Y \) и \( \angle Q = \angle Z \).
11. Угол P прилежит к стороне PQ, но угол Y прилежит к стороне YZ. Угол Q прилежит к стороне PQ, но угол Z прилежит к стороне YZ.
12. Это означает, что прилежащие углы к стороне PQ — это \( \angle P \) и \( \angle Q \).
13. Прилежащие углы к стороне YZ — это \( \angle Y \) и \( \angle Z \).
14. Поскольку \( \angle P = \angle Y \) и \( \angle Q = \angle Z \), а сторона PQ = YZ, то \( \triangle PQR = \triangle XYZ \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
15. Равные элементы:
• Стороны: PQ = YZ (дано), QR = XZ, PR = XY.
• Углы: \( \angle P = \angle Y = 50^{\circ} \), \( \angle Q = \angle Z = 80^{\circ} \), \( \angle R = \angle X = 50^{\circ} \).

Ответ: Треугольники PQR и XYZ равны по второму признаку равенства треугольников. Равные элементы: PQ = YZ, QR = XZ, PR = XY, \( \angle P = \angle Y = 50^{\circ} \), \( \angle Q = \angle Z = 80^{\circ} \), \( \angle R = \angle X = 50^{\circ} \).