Задача 5. Условие: В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН. Найдите углы треугольника АСН, если известно, что угол А равен 53°.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \); \( \angle C = 90^{\circ} \); CH — высота; \( \angle A = 53^{\circ} \).

Найти: углы \( \triangle ACH \).

Решение:

1. В прямоугольном \( \triangle ABC \) сумма углов равна 180°. Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle A = 53^{\circ} \), то \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).
2. Высота CH, проведенная из вершины прямого угла, образует два прямоугольных треугольника: \( \triangle ACH \) и \( \triangle BCH \).
3. Рассмотрим \( \triangle ACH \).
4. \( \angle A = 53^{\circ} \) (дано).
5. \( \angle ACH \) является частью прямого угла \( \angle C \) в \( \triangle ABC \). \( \angle C = 90^{\circ} \).
6. В \( \triangle ACH \), \( \angle AHC = 90^{\circ} \) (так как CH — высота).
7. Сумма углов в \( \triangle ACH \) равна 180°.
\( \angle A + \angle ACH + \angle AHC = 180^{\circ} \) \( 53^{\circ} + \angle ACH + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
8. Найдем \( \angle ACH \):
\( \angle ACH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 53^{\circ} = 37^{\circ} \).
9. Таким образом, углы \( \triangle ACH \) равны: \( \angle A = 53^{\circ}, \angle AHC = 90^{\circ}, \angle ACH = 37^{\circ} \).

Ответ: Углы \( \triangle ACH \) равны 53°, 90°, 37°.