Задача 3. Условие: В треугольнике АВС точки М и № середины сторон АВ и ВС соответственно. Известно, что АМ=NC и MN=АС. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \); M — середина AB, N — середина BC; AM = NC, MN = AC.

Доказать: \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. По условию M — середина AB, значит, AB = 2 * AM.
2. По условию N — середина BC, значит, BC = 2 * NC.
3. По условию AM = NC. Следовательно, 2 * AM = 2 * NC, что означает AB = BC.
4. Так как две стороны треугольника ABC равны (AB = BC), то треугольник ABC является равнобедренным.
5. Также из условия MN = AC. По теореме о средней линии треугольника, средняя линия MN параллельна основанию AC и равна половине основания: MN = \( \frac{1}{2} \) AC.
6. Но по условию MN = AC. Это возможно только в случае, если AC = 0, что противоречит тому, что ABC — треугольник.
7. Таким образом, условие MN = AC избыточно, и для доказательства равнобедренности достаточно использовать равенство AM = NC и тот факт, что M и N — середины сторон.
8. Из AB = BC следует, что \( \triangle ABC \) — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.