Задача 4. Условие: В треугольнике АВС угол А на 30° больше угла В, а угол С в 2 раза меньше угла В. Найдите все углы треугольника, указав их градусные меры. Используется: Теорема о сумме углов треугольника.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \); \( \angle A = \angle B + 30^{\circ} \); \( \angle C = \frac{1}{2} \angle B \).

Найти: \( \angle A, \angle B, \angle C \).

Решение:

1. Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
2. Подставим данные из условия в это уравнение:
\( (\angle B + 30^{\circ}) + \angle B + \frac{1}{2} \angle B = 180^{\circ} \)
3. Приведём подобные члены:
\( 2.5 \angle B + 30^{\circ} = 180^{\circ} \)
4. Вычтем 30° из обеих частей уравнения:
\( 2.5 \angle B = 150^{\circ} \)
5. Найдем \( \angle B \):
\( \angle B = \frac{150^{\circ}}{2.5} = 60^{\circ} \)
6. Теперь найдём \( \angle A \):
\( \angle A = \angle B + 30^{\circ} = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ} \)
7. Найдем \( \angle C \):
\( \angle C = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \)
8. Проверим сумму углов: \( 90^{\circ} + 60^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle A = 90^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 30^{\circ} \).