Задача 3. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью v₀. Через какое минимальное время и на какой высоте h его скорость уменьшится по величине в 4 раза? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

При движении вверх скорость равна \(v = v_0 - gt\). Минимальное время, когда модуль скорости станет \(v_0/4\), соответствует движению вверх: \(v = v_0/4\).

1. Решаем уравнение скорости: \(v_0 - gt = v_0/4\), поэтому \(t = 3v_0/(4g)\).
2. Используем связь скорости и высоты: \(v^2 = v_0^2 - 2gh\). Подставляем \(v = v_0/4\): \(v_0^2/16 = v_0^2 - 2gh\).
3. Отсюда \(h = 15v_0^2/(32g)\).

Ответ: минимальное время \(t = 3v_0/(4g)\), высота \(h = 15v_0^2/(32g)\).