Задача 3: Найдите площадь ромба, сторона которого равна 15 см, а разность диагоналей – 6 см.

Пусть (d_1) и (d_2) - диагонали ромба, где (d_1 > d_2). Дано, что (d_1 - d_2 = 6) см и сторона ромба (a = 15) см. Из этого можно выразить (d_1) через (d_2): (d_1 = d_2 + 6). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому, половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: ((rac{d_1}{2})^2 + (rac{d_2}{2})^2 = a^2) Подставим (d_1 = d_2 + 6): ((rac{d_2 + 6}{2})^2 + (rac{d_2}{2})^2 = 15^2) (rac{(d_2 + 6)^2}{4} + rac{d_2^2}{4} = 225) ((d_2 + 6)^2 + d_2^2 = 900) (d_2^2 + 12d_2 + 36 + d_2^2 = 900) (2d_2^2 + 12d_2 - 864 = 0) (d_2^2 + 6d_2 - 432 = 0) Решим квадратное уравнение. Дискриминант (D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(-432) = 36 + 1728 = 1764). Тогда (d_2 = rac{-b pm sqrt{D}}{2a} = rac{-6 pm sqrt{1764}}{2} = rac{-6 pm 42}{2}). Получаем два значения для (d_2): (d_{2,1} = rac{-6 + 42}{2} = rac{36}{2} = 18) см (d_{2,2} = rac{-6 - 42}{2} = rac{-48}{2} = -24) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной) Теперь найдем (d_1 = d_2 + 6 = 18 + 6 = 24) см. Площадь ромба (S) вычисляется по формуле (S = rac{1}{2} d_1 d_2). (S = rac{1}{2} cdot 24 cdot 18) (S = 12 cdot 18) (S = 216) см². Ответ: Площадь ромба равна 216 см².