Задача 4: Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10 см, а острый угол - 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

В равнобокую трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Пусть (a) и (b) - основания трапеции, а (c) - боковая сторона. Тогда (a + b = 2c). В нашем случае, (c = 10) см, поэтому (a + b = 20) см. Проведем высоты из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них. Так как острый угол равен 60°, то меньший катет (высота трапеции (h)) равен (c cdot sin{60°}), а больший катет (часть большего основания) равен (c cdot cos{60°}). Таким образом, (h = 10 cdot rac{sqrt{3}}{2} = 5sqrt{3}) см и (x = 10 cdot rac{1}{2} = 5) см. Теперь найдем основания трапеции. Поскольку (a + b = 20) и (a = b + 2x), то (b + 2x + b = 20), то есть (2b + 2x = 20). Подставим (x = 5) см: (2b + 10 = 20), (2b = 10), (b = 5) см. Тогда (a = 20 - 5 = 15) см. Площадь трапеции (S) вычисляется по формуле (S = rac{a + b}{2} cdot h). (S = rac{15 + 5}{2} cdot 5sqrt{3}) (S = rac{20}{2} cdot 5sqrt{3}) (S = 10 cdot 5sqrt{3}) (S = 50sqrt{3}) см². Ответ: Площадь трапеции равна (50sqrt{3}) см².