Задача 5: Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Биссектриса угла C делит гипотенузу AB на отрезки AD = 30 см и DB = 40 см. По свойству биссектрисы угла треугольника, \(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{DB} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\) Пусть AC = 3x и BC = 4x. Тогда, по теореме Пифагора, \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \((3x)^2 + (4x)^2 = (30 + 40)^2\) \(9x^2 + 16x^2 = 70^2\) \(25x^2 = 4900\) \(x^2 = \frac{4900}{25} = 196\) \(x = \sqrt{196} = 14\) Тогда AC = 3 * 14 = 42 см, и BC = 4 * 14 = 56 см. Площадь прямоугольного треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 56\) \(S = 21 \cdot 56 = 1176 \text{ см}^2\) Ответ: Площадь треугольника равна 1176 см².