Задача 4: В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$\angle C = 90°$$, $$\angle B = 30°$$. На катете $$BC$$ отметили точку $$D$$ такую, что $$\angle ADC = 60°$$. Найдите катет $$BC$$, если $$CD = 5$$ см.

В треугольнике $$ABC$$ $$\angle A = 180 - (90 + 30) = 60°$$. В треугольнике $$ADC$$ $$\angle DAC = 180 - (90 + 60) = 30°$$. Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Имеем: $$\frac{CD}{AD} = tg(\angle DAC) = tg(30°)$$ $$AD = \frac{CD}{tg(30°)} = \frac{5}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3}$$ Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Имеем $$\angle ADB = 180 - 60 = 120°$$. $$\angle BAD = 180 - (30 + 120) = 30°$$. Следовательно, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, значит, $$BD = AD = 5\sqrt{3}$$. $$BC = BD + DC = 5\sqrt{3} + 5 = 5(\sqrt{3} + 1)$$ Ответ: $$BC = 5(\sqrt{3} + 1)$$ см.