Задача 5: Известно, что $$AB \parallel CD$$, $$AM = CK$$, $$\angle AMB = \angle CKD$$ (рис. 270). Докажите, что $$BC \parallel AD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$CDK$$: 1. $$AM = CK$$ (по условию) 2. $$\angle AMB = \angle CKD$$ (по условию) 3. $$\angle MAB = \angle KCD$$ (т.к. $$AB \parallel CD$$ и $$AC$$ - секущая) Следовательно, $$\triangle ABM = \triangle CDK$$ (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда $$AB = CD$$. Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$. У него $$AB = CD$$ и $$AB \parallel CD$$. Следовательно, $$ABCD$$ - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, $$BC \parallel AD$$. Доказано.