Задача 5. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если у них: а) равны сторона BC и B₁C₁, равны биссектрисы CM и C₁M₁, ∠BCM = ∠B₁C₁M₁; б) равны сторона AB и A₁B₁, равны медианы BN и B₁N₁, ∠ABN = ∠A₁B₁N₁.

а) Рассмотрим треугольники BCM и B₁C₁M₁. Имеем BC = B₁C₁, CM = C₁M₁ и равные углы между этими сторонами. Значит, треугольники BCM и B₁C₁M₁ равны по первому признаку. Отсюда равны углы ABC и A₁B₁C₁, а также углы ACB и A₁C₁B₁: биссектрисы делят углы при C и C₁ пополам. Вместе с BC = B₁C₁ это даёт равенство ΔABC и ΔA₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.

б) Рассмотрим треугольники ABN и A₁B₁N₁. Имеем AB = A₁B₁, BN = B₁N₁ и равны углы между ними. Значит, эти треугольники равны по первому признаку, поэтому AN = A₁N₁ и ∠BAN = ∠B₁A₁N₁. Так как BN и B₁N₁ — медианы, N и N₁ — середины AC и A₁C₁. Следовательно, AC = 2 · AN = 2 · A₁N₁ = A₁C₁. Угол BAN равен углу BAC, а ∠B₁A₁N₁ — углу B₁A₁C₁. Теперь AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и равны углы между ними, значит, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку.