Задача 5. Сравните выражения √(n + 1) + √n и √(n + √(n + 1)), где n — положительное число.

Оба выражения положительны, поэтому сравним их квадраты. Обозначим \(A=\sqrt{n+1}+\sqrt n\), \(B=\sqrt{n+\sqrt{n+1}}\).

\(A^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}\), а \(B^2=n+\sqrt{n+1}\).

Разность квадратов:

\(A^2-B^2=n+1+2\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{n+1}\).

При \(n>0\) имеем \(n+1>\sqrt{n+1}\), а \(2\sqrt{n(n+1)}>0\). Поэтому \(A^2-B^2>0\), следовательно, \(A>B\).

Ответ: \(\sqrt{n+1}+\sqrt n>\sqrt{n+\sqrt{n+1}}\).