Задача 5. Среди чисел $15\sqrt3-4\sqrt2$, $6-\sqrt{12}$, $\sqrt{80}-5\sqrt3$, $\sqrt{75}-4\sqrt5$, $\frac1{2\sqrt3-6}$, $\frac1{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задача 5. Среди чисел $15\sqrt3-4\sqrt2$, $6-\sqrt{12}$, $\sqrt{80}-5\sqrt3$, $\sqrt{75}-4\sqrt5$,…$ Фото задания

Задача 5. Среди чисел $15\sqrt3-4\sqrt2$, $6-\sqrt{12}$, $\sqrt{80}-5\sqrt3$, $\sqrt{75}-4\sqrt5$, $\frac1{2\sqrt3-6}$, $\frac1{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$ есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.

Accepted Answer

Упростим корни:

\[\sqrt{80}=4\sqrt5,\quad \sqrt{75}=5\sqrt3,\quad \sqrt{675}=15\sqrt3,\quad \sqrt{32}=4\sqrt2.\]

Тогда шестое число имеет вид:

\[\frac1{\sqrt{675}-\sqrt{32}}=\frac1{15\sqrt3-4\sqrt2}.\]

Это число является обратным к первому:

\[(15\sqrt3-4\sqrt2)\cdot\frac1{15\sqrt3-4\sqrt2}=1.\]

Третье и четвёртое числа:

\[\sqrt{80}-5\sqrt3=4\sqrt5-5\sqrt3,\]

\[\sqrt{75}-4\sqrt5=5\sqrt3-4\sqrt5=-(4\sqrt5-5\sqrt3).\]

Следовательно, они противоположны.

Ответ: взаимно обратные числа — $15\sqrt3-4\sqrt2$ и $\frac1{\sqrt{675}-\sqrt{32}}$; противоположные числа — $\sqrt{80}-5\sqrt3$ и $\sqrt{75}-4\sqrt5$.