Задача 6. Упростите выражение \(a=\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{3-\sqrt5}\), вычислив предварительно значение \(a^2\).

Возведём выражение в квадрат:

\[a^2=\left(\sqrt{3+\sqrt5}-\sqrt{3-\sqrt5}\right)^2.\]

Раскроем квадрат разности:

\[a^2=3+\sqrt5+3-\sqrt5-2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}.\]

Вычислим произведение под корнем:

\[(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=9-5=4.\]

Поэтому:

\[a^2=6-2\sqrt4=6-4=2.\]

Так как \(\sqrt{3+\sqrt5}>\sqrt{3-\sqrt5}\), то \(a>0\). Следовательно:

\[a=\sqrt{a^2}=\sqrt2.\]

Ответ: \(a^2=2\), \(a=\sqrt2\).