Задача 5. У Яны был пенал, а в нём — нечётное количество ручек. В первый день она добавила в пенал одну ручку, во второй — 2, в третий — три и так далее. На восьмой день она добавила 8 ручек и заметила, что ручек в пенале стало в несколько раз больше, чем было сначала. Какое самое большое количество ручек могло быть у Яны в пенале сначала?

За восемь дней Яна добавила 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 ручек.

Если сначала было n ручек, то после этого стало n + 36. Чтобы количество стало в целое число раз больше, n должно делить 36. Начальное количество нечётное, поэтому возможны делители 1, 3 и 9.

При n = 1 получаем 37, что не является целым числом раз от 1. При n = 3 получаем 39 = 13 × 3, а при n = 9 — 45 = 5 × 9. Наибольшее подходящее начальное количество — 9.

Ответ: 9 ручек.