Задача 6. В треугольнике известны стороны a = 5 см, b = 6 см и угол C = 30°. Найдите площадь и третью сторону c.

Стороны \(a\) и \(b\) прилегают к углу \(C\).

Площадь: \(S=\frac12ab\sin C=\frac12\cdot5\cdot6\cdot\sin30^\circ=15\cdot\frac12=7.5\) см².

По теореме косинусов:

\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=5^2+6^2-2\cdot5\cdot6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=61-30\sqrt3\).

Следовательно, \(c=\sqrt{61-30\sqrt3}\) см.

Ответ: площадь — 7,5 см²; \(c=\sqrt{61-30\sqrt3}\) см.