Задача 7.7.1. Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 7776. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Если НОД равен одному из чисел, то это число делит другое. Обозначим меньшее число через \(d\), а большее — через \(kd\), где \(k\) — натуральное число. Тогда \(d^2k=7776\), поэтому \(d^2\) должно быть квадратным делителем числа 7776.

Разложим число на простые множители: \(7776=2^5\cdot3^5\). Наибольший квадратный делитель — \(2^4\cdot3^4=1296=36^2\). Значит, наибольшее возможное значение \(d\) равно 36; оно достигается при втором числе 216.

Ответ: 36.