Задача 7. Отрезки AC и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что △ABC = △CDA.

Обозначим точку пересечения отрезков AC и BD буквой O. По условию AO = OC и BO = OD. Углы AOB и COD вертикальные, поэтому равны. Значит, треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними; отсюда AB = CD.

Аналогично, углы BOC и DOA вертикальные, BO = OD и CO = OA. Поэтому треугольники BOC и DOA равны, откуда BC = DA. Кроме того, AC — общая сторона треугольников ABC и CDA. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по трём сторонам.