Задача 9. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E — на отрезке AD, причём AC = AD и AB = AE. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Рассмотрим треугольники ABC и AED. Имеем AB = AE и AC = AD по условию, а ∠BAC = ∠EAD, поскольку это один и тот же угол CAD. Поэтому треугольники ABC и AED равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда BC = DE и ∠ACB = ∠ADE.

Поскольку AC = AD, треугольник ACD равнобедренный, значит, ∠ACD = ∠CDA. Учитывая, что B лежит на AC, а E — на AD, из равенства ∠ACB = ∠ADE следует равенство углов BCD и EDC: каждый из них получается вычитанием равных углов из равных углов равнобедренного треугольника ACD. Теперь в треугольниках BCD и EDC равны BC и DE, CD — общая сторона, а углы BCD и EDC равны. Поэтому эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠CBD = ∠DEC.