Задача 7. (Учащиеся решают самостоятельно). В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза.

Дано:

• Бросаем симметричную монету 5 раз.
• Вероятность выпадения орла (O) = 0,5
• Вероятность выпадения решки (Р) = 0,5

Найти: Вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (5 бросков), каждое испытание имеет два исхода (орел или решка), вероятности исходов постоянны, и испытания независимы.

Формула Бернулли: \[ P(k; n) = C_n^k \times p^k \times q^{n-k} \]

Где:

• n — число испытаний (в нашем случае 5 бросков).
• k — число «успехов» (в нашем случае 4 орла).
• p — вероятность «успеха» (вероятность выпадения орла, 0,5).
• q — вероятность «неудачи» (вероятность выпадения решки, 0,5).
• C_n^k — число сочетаний из n по k, которое рассчитывается как \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

1. Рассчитаем число сочетаний (C_5^4):

\[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5 \]

Это означает, что есть 5 способов получить ровно 4 орла в 5 бросках (например, ООООР, ООРОО, ОРООО, РОООО, ООООP).

2. Подставим значения в формулу Бернулли:

\[ P(4; 5) = C_5^4 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{5-4} \]

\[ P(4; 5) = 5 \times (0.5)^4 \times (0.5)^1 \]

\[ P(4; 5) = 5 \times (0.0625) \times (0.5) \]

\[ P(4; 5) = 5 \times 0.03125 \]

\[ P(4; 5) = 0.15625 \]

Результат можно округлить, но в данном случае он точный.

Ответ: Вероятность того, что орел выпадет ровно 4 раза при пяти бросках симметричной монеты, равна 0,15625.