Задача (Билет 6): На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN. BD — высота треугольника. Докажите, что MD=ND

Дано: \(\triangle ABC\) - равнобедренный (AB = BC), BM = BN, BD - высота (BD \(\perp\) AC) Доказать: MD = ND Доказательство: 1. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный (AB = BC), то \(\angle BAC = \angle BCA\). 2. Поскольку BM = BN, то \(\triangle BMN\) также равнобедренный, и \(\angle BMN = \angle BNM\). 3. Рассмотрим треугольники \(\triangle BMD\) и \(\triangle BND\). - BM = BN (по условию) - \(\angle MBD = \angle NBC\) (так как \(\angle ABC\) - общий) - BD - общая сторона 4. Так как BD - высота, то углы BDA и BDC равны 90 градусов. 5. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\). Они равны по катету (BD) и гипотенузе (AB = BC), следовательно, \(\angle ABD = \angle CBD\). 6. Значит, \(\triangle BMD = \triangle BND\) по двум сторонам (BM = BN, BD – общая) и углу между ними (\(\angle MBD = \angle NBD\)), следовательно MD = ND. Ч.Т.Д.