4. Задача на тему «Окружность». На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС - диаметр окружности. Докажите, что хорды АВ и АС , равны.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Доказываем равенство хорд, используя свойства окружности и прямоугольных треугольников.

Дано: Окружность с центром O, точки A и B на окружности, ∠AOB = 90°, BC – диаметр.
Доказать: AB = AC.
Доказательство:

∠AOB = 90°, значит, ΔAOB – прямоугольный и равнобедренный (AO = OB как радиусы).
Следовательно, AB = AO ⋅ √2 (по теореме Пифагора или свойству прямоугольного равнобедренного треугольника).
∠BAC – вписанный угол, опирающийся на диаметр BC, значит, ∠BAC = 90°.
ΔABC – прямоугольный.
∠AOC = 180° - ∠AOB = 180° - 90° = 90° (т.к. ∠AOB и ∠AOC – смежные).
ΔAOC – прямоугольный и равнобедренный (AO = OC как радиусы, ∠AOC = 90°).
Следовательно, AC = AO ⋅ √2 (по теореме Пифагора или свойству прямоугольного равнобедренного треугольника).
Таким образом, AB = AO ⋅ √2 и AC = AO ⋅ √2, значит, AB = AC.

Ответ: AB = AC