Задача1. В классе, в котором учатся 20 учеников, были проведены две контрольные работы по математике. Каждая контрольная на оценку «5» была написана ровно 10 учениками. Известно также, что половина учеников, написавших первую контрольную не на «5», написали вторую контрольную на «5». Сколько учеников написали на «5» хотя бы одну контрольную работу?

Решение:

Пусть A - множество учеников, написавших первую контрольную на "5", а B - множество учеников, написавших вторую контрольную на "5".

Из условия следует:

• |A| = 10 (количество учеников, написавших первую контрольную на "5")
• |B| = 10 (количество учеников, написавших вторую контрольную на "5")

Половина учеников, написавших первую контрольную не на "5", написали вторую контрольную на "5". Это означает, что 10 учеников не написали первую контрольную на "5", и половина из них (то есть 5 учеников) написали вторую контрольную на "5".

Таким образом, |B \ A| = 5 (количество учеников, которые написали вторую контрольную на "5", но не написали первую контрольную на "5").

Нам нужно найти количество учеников, написавших хотя бы одну контрольную на "5", то есть |A ∪ B|.

Используем формулу включений-исключений:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Нам известно, что |B \ A| = |B| - |A ∩ B|, следовательно, |A ∩ B| = |B| - |B \ A| = 10 - 5 = 5.

Тогда |A ∪ B| = 10 + 10 - 5 = 15.

Ответ: 15