Задача №6* В параллелограмме ABCD угол cos ∠ABC = -0,8, AD=20, AC=4√34 . Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Задача №6

В параллелограмме ABCD известны угол cos ∠ABC, длина стороны AD и длина диагонали AC. Необходимо найти площадь параллелограмма ABCD.

Обозначим стороны параллелограмма: AB = x, AD = 20. Тогда площадь параллелограмма равна:

$$S = AB \cdot AD \cdot \sin{\angle ABC}$$

Поскольку \(\cos{\angle ABC} = -0.8\), то \(\sin{\angle ABC} = \sqrt{1 - \cos^2{\angle ABC}} = \sqrt{1 - (-0.8)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6\) (т.к. угол тупой, синус положительный).

Чтобы найти сторону АВ, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$$

Так как BC = AD = 20, подставим известные значения:

$$(4\sqrt{34})^2 = x^2 + 20^2 - 2 \cdot x \cdot 20 \cdot (-0.8)$$ $$16 \cdot 34 = x^2 + 400 + 32x$$ $$544 = x^2 + 400 + 32x$$ $$x^2 + 32x - 144 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 32^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 1024 + 576 = 1600$$ $$x_1 = \frac{-32 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{-32 + 40}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{-32 - 40}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем x = 4.

Теперь найдем площадь параллелограмма:

$$S = AB \cdot AD \cdot \sin{\angle ABC} = 4 \cdot 20 \cdot 0.6 = 80 \cdot 0.6 = 48$$

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD = 48