Задача №4 В треугольнике АВС АМ- медиана, АВ=25см, ВС=30см, cos ∠ABC = 0,6. Найдите длину медианы АМ.

Задача №4

В треугольнике ABC известны стороны AB и BC, косинус угла ∠ABC, а также то, что AM - медиана. Нужно найти длину медианы AM.

Воспользуемся формулой для длины медианы:

$$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$$

Для того, чтобы найти сторону АС, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$$

Подставим известные значения:

$$AC^2 = 25^2 + 30^2 - 2 \cdot 25 \cdot 30 \cdot 0.6$$ $$AC^2 = 625 + 900 - 900$$ $$AC^2 = 625$$ $$AC = \sqrt{625} = 25$$

Теперь подставим найденное значение AC в формулу для медианы AM:

$$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$$ $$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 25^2 + 2 \cdot 25^2 - 30^2}$$ $$AM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 625 + 2 \cdot 625 - 900}$$ $$AM = \frac{1}{2} \sqrt{1250 + 1250 - 900}$$ $$AM = \frac{1}{2} \sqrt{1600}$$ $$AM = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$$

Ответ: Длина медианы AM = 20 см