Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых? Решение. Вероятность извлечения белого шара р=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-р=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем P4(2) = C2-p2q2=(12/2)·(2/3)²(1/3)² = 8/27

Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение:

1. Вероятность извлечения белого шара равна $$p = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$.
2. Вероятность извлечения черного шара равна $$q = 1 - p = \frac{1}{3}$$.
3. Используем формулу Бернулли: $$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$$, где n = 4, m = 2.
4. $$P_4(2) = C_4^2 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^2$$
5. $$C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{24}{4} = 6$$
6. $$P_4(2) = 6 \cdot (\frac{2}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 6 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$

Ответ: $$\frac{8}{27}$$