Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз? Решение. Здесь р=0,4, q=0,6. Имеем: P10(0) = q10, P10(1) = 10pq9, P10(2) = 45p2q8, P10(3) = 120p³q7. Вероятность того, что событие А появится не больше трех раз, равна P = P10(0) + P10(1) + P10(2) + P10(3) = q10+10pq9+45p2q8+120p³q≈ 0,38.

Задача 3. Вероятность появления события А равна 0,4. Какова вероятность того, что при 10 испытаниях событие А появится не более трех раз?

Решение:

1. Вероятность появления события А: $$p = 0.4$$.
2. Вероятность не появления события А: $$q = 1 - p = 0.6$$.
3. Событие А появится не более трех раз, значит, оно может появиться 0, 1, 2 или 3 раза.
4. $$P_{10}(0) = C_{10}^0 \cdot p^0 \cdot q^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0.6)^{10} = 0.0060466176$$
5. $$P_{10}(1) = C_{10}^1 \cdot p^1 \cdot q^9 = 10 \cdot 0.4 \cdot (0.6)^9 = 10 \cdot 0.4 \cdot 0.010077696 = 0.040310784$$
6. $$P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^8 = 45 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^8 = 45 \cdot 0.16 \cdot 0.01679616 = 0.120932352$$
7. $$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot p^3 \cdot q^7 = 120 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^7 = 120 \cdot 0.064 \cdot 0.0279936 = 0.21500736$$
8. $$P = P_{10}(0) + P_{10}(1) + P_{10}(2) + P_{10}(3) = 0.0060466176 + 0.040310784 + 0.120932352 + 0.21500736 = 0.3822971136 \approx 0.38$$

Ответ: $$\approx 0.38$$