Задание 7 (2 балла) Докажите неравенство для любых действительных а и b: a2+b2+4≥2(a+b). Используйте алгебраические преобразования (выделение полных квадратов или иные тождественные переходы).

Докажем неравенство $$a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b)$$.

Преобразуем неравенство, используя выделение полных квадратов:

$$a^2 + b^2 + 4 - 2a - 2b \geq 0$$

$$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + 2 \geq 0$$

$$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 2 \geq 0$$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $$(a - 1)^2 \geq 0$$ и $$(b - 1)^2 \geq 0$$. Следовательно, $$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0$$.

Таким образом, неравенство $$a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b)$$ справедливо для любых действительных a и b.

Ответ: Неравенство доказано.