Задание 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Здесь нужно заметить закономерность. Каждый виток змейки состоит из двух горизонтальных и двух вертикальных отрезков. Длина каждого следующего витка на 2 больше, чем предыдущего (на каждом направлении). Так как последнее звено имеет длину 120, то предпоследнее звено будет иметь такую же длину, т.е. 120. Нужно найти длину всей ломаной. Общая длина L вычисляется как сумма длин всех звеньев змейки. Чтобы найти количество звеньев нужно обратить внимание на то, что длина последнего звена 120. Заметим, что длина каждого звена увеличивается на 10. Следовательно, количество витков равно 12, т.е. 120 / 10 = 12 витков. Чтобы вычислить длину змейки, нужно сложить длины всех витков. Первый виток имеет длину 10+10+10+10=40. Каждый последующий виток имеет длину на 40 больше, чем предыдущий. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\). Подставляем значения: \(S_{12} = \frac{12}{2}(2*40 + (12-1)*40) = 6(80 + 11*40) = 6(80+440) = 6 * 520 = 3120\). Ответ: 3120.