Задание №5. На командную олимпиаду по математике требуется выставить команду из шести человек. Руководитель кружка планирует назначить капитана, чтобы тот подобрал себе в команду ещё пятерых ребят. Сколькими способами можно сформировать команду, если на кружке 10 участников?

Сначала выберем капитана из 10 участников: $$C_{10}^1 = 10$$ способов. Затем капитан выбирает 5 человек из оставшихся 9 участников: $$C_9^5$$ способов. $$C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126$$ Общее количество способов: $$10 \cdot 126 = 1260$$ Ответ: 1260 способами.