*ЗАДАНИЕ 8. На рисунке 16 замкнутая ломаная ABCDEF вписана в окружность, причём четыре её звена имеют одну и ту же длину, а звенья AF и CD являются диаметрами окружности, угол между которыми равен 40°. Докажите, что ломаная симметрична относительно прямой ВЕ. Найдите угол между соседними равными звеньями ломаной.

Ответ: 70°

Докажем, что ломаная ABCDEF симметрична относительно прямой BE.

• Поскольку AF и CD — диаметры окружности, а угол между ними равен 40°, то дуги AC и FD также равны 40°.
• Так как четыре звена ломаной (AB, BC, DE, EF) имеют одинаковую длину, то дуги, на которые они опираются, также равны. Обозначим длину каждой из этих дуг как x.
• Вся окружность составляет 360°. Значит, 2x (дуги AB и BC) + 2x (дуги DE и EF) + 40° (дуга AC) + 40° (дуга FD) = 360°. Отсюда 4x = 280°, и x = 70°.
• Таким образом, дуга AB = BC = DE = EF = 70°.
• Прямая BE является осью симметрии, так как она делит окружность на две равные части, и точки A и F, C и D симметричны относительно этой прямой.

Найдем угол между соседними равными звеньями ломаной, например, угол ABC.

• Угол ABC — вписанный, и он опирается на дугу ADC.
• Дуга ADC состоит из дуг AD (которая равна дуге AC + CD = 40° + 70° = 110°) и дуги BC (равной 70°).
• Следовательно, дуга ADC = 40° + 70° + 70° = 180°.
• Угол ABC равен половине дуги ADC, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ\).

Таким образом, угол между соседними равными звеньями ломаной равен 70°.

Ответ: 70°