ЗАДАНИЕ 10. Вершины четырёхугольника лежат на окружно- сти. Известно, что центр окружности лежит на биссектри- сах двух противоположных углов четырёхугольника. До- кажите, что тогда одна из его диагоналей является диаметром окружности.

Ответ: доказать, что диагональ является диаметром окружности.

Пусть дан четырехугольник ABCD, вершины которого лежат на окружности с центром O. Пусть центр O лежит на биссектрисах углов A и C.

Докажем, что диагональ, соединяющая вершины B и D, является диаметром окружности.

Так как центр O лежит на биссектрисе угла A, то \(\angle BAO = \angle DAO\). Обозначим эти углы как \(\alpha\).

Аналогично, так как центр O лежит на биссектрисе угла C, то \(\angle BCO = \angle DCO\). Обозначим эти углы как \(\beta\).

Угол AOB — центральный угол, опирающийся на дугу AB, и он равен удвоенному углу ACB, то есть \(\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB\). Аналогично, угол AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD, и он равен удвоенному углу ACD, то есть \(\angle AOD = 2 \cdot \angle ACD\).

Поскольку углы ACB и ACD равны (так как CO — биссектриса угла C), то и углы AOB и AOD также равны.

Угол COB — центральный угол, опирающийся на дугу BC, и он равен удвоенному углу BAC, то есть \(\angle COB = 2 \cdot \angle BAC\). Аналогично, угол COD — центральный угол, опирающийся на дугу CD, и он равен удвоенному углу CAD, то есть \(\angle COD = 2 \cdot \angle CAD\).

Поскольку углы BAC и CAD равны (так как AO — биссектриса угла A), то и углы COB и COD также равны.

Углы AOB, AOD, COB и COD составляют полный круг, то есть \(\angle AOB + \angle AOD + \angle COB + \angle COD = 360^\circ\).

Но поскольку \(\angle AOB = \angle AOD\) и \(\angle COB = \angle COD\), то \(2 \cdot \angle AOB + 2 \cdot \angle COB = 360^\circ\), или \(\angle AOB + \angle COB = 180^\circ\).

Это означает, что точки A, O и C лежат на одной прямой, и AC — диаметр окружности.

Аналогично можно доказать, что углы BOD составляют 180 градусов, и BD — диаметр окружности.

Ответ: доказать, что диагональ является диаметром окружности.