ЗАДАНИЕ 9. В узлах клетчатой сетки отмечены точки А, В, С и D (рис. 17). Можно ли провести окружность через все эти точки?

Ответ: нет, нельзя

Обозначим координаты точек как A(0,2), B(1,3), C(2,2), D(1,0) (условно, приняв A за начало координат).

Чтобы через четыре точки можно было провести окружность, они должны лежать на одной окружности. Это означает, что они не должны лежать на одной прямой, и для них должно выполняться условие, что сумма противоположных углов четырехугольника, образованного этими точками, равна 180 градусам.

В данном случае, если соединить точки A, B, C и D, получится четырехугольник ABCD. Проверим, является ли он вписанным.

Углы четырехугольника можно определить, рассматривая треугольники, образованные диагоналями. Однако, проще проверить, лежат ли точки на одной окружности, используя аналитический подход.

Четыре точки лежат на одной окружности, если существует окружность вида \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), которая проходит через все четыре точки.

Подставим координаты точек в уравнение окружности:

• A(0,2): \(a^2 + (2-b)^2 = R^2\)
• B(1,3): \((1-a)^2 + (3-b)^2 = R^2\)
• C(2,2): \((2-a)^2 + (2-b)^2 = R^2\)
• D(1,0): \((1-a)^2 + b^2 = R^2\)

Выразим из первого уравнения \(R^2\): \(R^2 = a^2 + (2-b)^2\)

Подставим \(R^2\) во второе уравнение: \((1-a)^2 + (3-b)^2 = a^2 + (2-b)^2\)

Раскроем скобки: \(1 - 2a + a^2 + 9 - 6b + b^2 = a^2 + 4 - 4b + b^2\)

Упростим: \(10 - 2a - 6b = 4 - 4b\), откуда \(6 = 2a + 2b\), или \(a + b = 3\)

Подставим \(R^2\) в третье уравнение: \((2-a)^2 + (2-b)^2 = a^2 + (2-b)^2\)

Раскроем скобки: \(4 - 4a + a^2 + 4 - 4b + b^2 = a^2 + 4 - 4b + b^2\)

Упростим: \(8 - 4a = 4\), откуда \(4a = 4\), или \(a = 1\)

Так как \(a + b = 3\), то \(b = 2\)

Подставим \(a = 1\) и \(b = 2\) в четвертое уравнение: \((1-1)^2 + 2^2 = R^2\), откуда \(R^2 = 4\)

Теперь проверим первое уравнение: \(1^2 + (2-2)^2 = 4\), \(1 = 4\) - неверно.

Таким образом, не существует окружности, проходящей через все четыре точки.

Ответ: нет, нельзя