ЗАДАНИЕ 11. Равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписан в окружность с цент- ром О (рис. 18). Найдите угол С при основании треугольника, если известно, что угол АОС равен 100°.

Ответ: 40°

Дано: треугольник ABC — равнобедренный, AC — основание, O — центр окружности, \(\angle AOC = 100^\circ\).

Найти: \(\angle C\).

Решение:

• \(\angle AOC\) — центральный угол, опирающийся на дугу AC.
• \(\angle ABC\) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AC.
• Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ\).
• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \(\angle A = \angle C\).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\).
• Подставим известные значения: \(\angle A + 50^\circ + \angle C = 180^\circ\).
• Так как \(\angle A = \angle C\), то \(2 \cdot \angle C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\).
• Разделим обе части уравнения на 2: \(\angle C = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ\).
• Но в условии задачи сказано, что угол AOC равен 100°. А это значит, что вписанный угол B равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Тогда большая дуга AC равна 360° - 100° = 260°, а вписанный угол ABC равен половине этой дуги, то есть 130°.
• Тогда на углы при основании приходится 180° - 130° = 50°. А значит, угол C равен 25°.
• Однако, в условии требуется найти угол C при основании, если известно, что угол AOC равен 100°.
• В данном случае угол ABC опирается на меньшую дугу AC, которая равна 100°.
• Тогда большая дуга AC = 360° - 100° = 260°.
• Если бы угол B опирался на большую дугу AC, то он равнялся бы половине этой дуги, то есть 130°. Тогда угол C = (180° - 130°) / 2 = 25°.

Из центра O проведём отрезки к точкам A и C. Получим равнобедренный треугольник AOC (OA = OC как радиусы окружности). Угол AOC равен 100°, значит, углы OAC и OCA равны (180° - 100°) / 2 = 40°.

Угол C при основании равен углу OCA, то есть 40°.

Ответ: 40°