Задание 10. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 13 a) y"-1ly'+30y = 0

Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами вида $$y'' - 11y' + 30y = 0$$, необходимо решить характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению. Характеристическое уравнение: $$k^2 - 11k + 30 = 0$$. Решаем квадратное уравнение: $$k^2 - 11k + 30 = 0$$. Находим дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$$. Так как D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня: $$k_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 1}{2} = \frac{12}{2} = 6$$. $$k_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$$. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $$y(x) = C_1e^{k_1x} + C_2e^{k_2x}$$, где $$C_1$$ и $$C_2$$ - произвольные постоянные. Подставляем найденные значения корней: $$y(x) = C_1e^{6x} + C_2e^{5x}$$. Ответ: $$y(x) = C_1e^{6x} + C_2e^{5x}$$