Задание 10. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее начальному условию. 13 y"-6y'+9y = 3 sin 2x y(0) = 1, y'(0)=0

Для решения данного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения, а затем использовать начальные условия для определения констант. 1. Решаем однородное уравнение: $$y'' - 6y' + 9y = 0$$. Характеристическое уравнение: $$k^2 - 6k + 9 = 0$$. $$(k - 3)^2 = 0$$. $$k_1 = k_2 = 3$$. Общее решение однородного уравнения: $$y_{общ} = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x}$$. 2. Ищем частное решение неоднородного уравнения: $$y'' - 6y' + 9y = 3\sin{2x}$$. Так как правая часть имеет вид $$3\sin{2x}$$, будем искать частное решение в виде: $$y_{част} = A\cos{2x} + B\sin{2x}$$. Находим первую и вторую производные: $$y' = -2A\sin{2x} + 2B\cos{2x}$$, $$y'' = -4A\cos{2x} - 4B\sin{2x}$$. Подставляем в исходное уравнение: $$-4A\cos{2x} - 4B\sin{2x} - 6(-2A\sin{2x} + 2B\cos{2x}) + 9(A\cos{2x} + B\sin{2x}) = 3\sin{2x}$$. $$(-4A - 12B + 9A)\cos{2x} + (-4B + 12A + 9B)\sin{2x} = 3\sin{2x}$$. $$(5A - 12B)\cos{2x} + (12A + 5B)\sin{2x} = 3\sin{2x}$$. Составляем систему уравнений: $$\begin{cases} 5A - 12B = 0 \\ 12A + 5B = 3 \end{cases}$$. Решаем систему: $$A = \frac{36}{169}, B = \frac{15}{169}$$. Тогда частное решение: $$y_{част} = \frac{36}{169}\cos{2x} + \frac{15}{169}\sin{2x}$$. Общее решение неоднородного уравнения: $$y = C_1e^{3x} + C_2xe^{3x} + \frac{36}{169}\cos{2x} + \frac{15}{169}\sin{2x}$$. 3. Используем начальные условия: $$y(0) = 1, y'(0) = 0$$. $$y(0) = C_1e^{0} + C_2\cdot0\cdot e^{0} + \frac{36}{169}\cos{0} + \frac{15}{169}\sin{0} = 1$$. $$C_1 + \frac{36}{169} = 1 \implies C_1 = 1 - \frac{36}{169} = \frac{133}{169}$$. Находим производную общего решения: $$y' = 3C_1e^{3x} + C_2e^{3x} + 3C_2xe^{3x} - \frac{72}{169}\sin{2x} + \frac{30}{169}\cos{2x}$$. $$y'(0) = 3C_1e^{0} + C_2e^{0} + 3C_2\cdot0\cdot e^{0} - \frac{72}{169}\sin{0} + \frac{30}{169}\cos{0} = 0$$. $$3C_1 + C_2 + \frac{30}{169} = 0 \implies C_2 = -3C_1 - \frac{30}{169}$$. $$C_2 = -3\cdot\frac{133}{169} - \frac{30}{169} = -\frac{399}{169} - \frac{30}{169} = -\frac{429}{169}$$. 4. Записываем частное решение: $$y = \frac{133}{169}e^{3x} - \frac{429}{169}xe^{3x} + \frac{36}{169}\cos{2x} + \frac{15}{169}\sin{2x}$$. Ответ: $$y = \frac{133}{169}e^{3x} - \frac{429}{169}xe^{3x} + \frac{36}{169}\cos{2x} + \frac{15}{169}\sin{2x}$$