Задание 6. При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно два корня: (x- a² + 2a)(x-5) (x8) = 0 В ответ запишите наименьшее значение параметра.

Найдем значения параметра $$a$$, при которых уравнение

$$ (x - a^2 + 2a)(x - 5)(x - 8) = 0 $$

имеет ровно два корня.

Уравнение имеет вид произведения, равного нулю. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Тогда: $$ x - a^2 + 2a = 0 $$ $$ x - 5 = 0 $$ $$ x - 8 = 0 $$

Отсюда:

$$ x_1 = a^2 - 2a $$ $$ x_2 = 5 $$ $$ x_3 = 8 $$

Чтобы уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы один из корней совпадал с другим, т.е.:

1) $$x_1 = x_2$$:

$$ a^2 - 2a = 5 $$ $$ a^2 - 2a - 5 = 0 $$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24$$ $$a_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$$

2) $$x_1 = x_3$$:

$$ a^2 - 2a = 8 $$ $$ a^2 - 2a - 8 = 0 $$

По теореме Виета:

$$\begin{cases} a_1 + a_2 = 2 \\ a_1 \cdot a_2 = -8 \end{cases}$$ $$a_1 = 4, a_2 = -2$$

Сравним полученные значения параметра:

$$1 - \sqrt{6} \approx -1.45$$ $$1 + \sqrt{6} \approx 3.45$$ $$4$$ $$-2$$

Наименьшее значение параметра: $$1 - \sqrt{6}$$

Ответ: $$1 - \sqrt{6}$$