Задание 3. В равнобедренной трапеции ABCD с боковы ми сторонами АВ и СД основание высоты ВН лежит на основании AD. Известно, что площадь трапеции на 120, ВН = 8, АВ = 10. Найдите диагональ этой тра- пеции.

В равнобедренной трапеции ABCD с боковыми сторонами AB и CD основание высоты BH лежит на основании AD. Площадь трапеции равна 120, BH = 8, AB = 10. Найдем диагональ этой трапеции.

1) Площадь трапеции находится по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$

Тогда: $$120 = \frac{a+b}{2} \cdot 8$$

$$ \frac{a+b}{2} = \frac{120}{8} = 15 $$ $$ a+b = 30 $$

2) Рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$ $$AH^2 + 8^2 = 10^2$$ $$AH^2 = 100 - 64 = 36$$ $$AH = 6$$

3) Т.к. трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2

$$6 = \frac{AD - BC}{2}$$ $$AD - BC = 12$$

4) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} AD + BC = 30 \\ AD - BC = 12 \end{cases}$$

Сложим два уравнения:

$$2AD = 42$$ $$AD = 21$$ $$BC = 30 - AD = 30 - 21 = 9$$

5) Проведем высоту CK. Тогда DK = AH = 6

$$AK = AD - DK = 21 - 6 = 15$$

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник ACK. По теореме Пифагора:

$$AK^2 + CK^2 = AC^2$$ $$AC^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$$ $$AC = \sqrt{289} = 17$$

Ответ: 17