Задание 21 1. Решите неравенство: $$(x-7)^2 < \sqrt{11}(x-7)$$.

Решим неравенство $$(x-7)^2 < \sqrt{11}(x-7)$$.

1. Преобразуем неравенство, перенеся все в одну сторону: $$(x-7)^2 - \sqrt{11}(x-7) < 0$$
2. Вынесем общий множитель $$(x-7)$$ за скобки: $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) < 0$$
3. Найдем корни уравнения $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) = 0$$:
   • $$x-7 = 0$$, следовательно, $$x = 7$$
   • $$x-7 - \sqrt{11} = 0$$, следовательно, $$x = 7 + \sqrt{11}$$
4. Определим знаки выражения $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11})$$ на числовой прямой. Так как $$\sqrt{11} \approx 3.32$$, то $$7 < 7 + \sqrt{11}$$. Рассмотрим три интервала:
   • $$x < 7$$: $$(x-7) < 0$$ и $$(x-7 - \sqrt{11}) < 0$$, следовательно, $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) > 0$$
   • $$7 < x < 7 + \sqrt{11}$$: $$(x-7) > 0$$ и $$(x-7 - \sqrt{11}) < 0$$, следовательно, $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) < 0$$
   • $$x > 7 + \sqrt{11}$$: $$(x-7) > 0$$ и $$(x-7 - \sqrt{11}) > 0$$, следовательно, $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) > 0$$
5. Таким образом, решение неравенства $$(x-7)(x-7 - \sqrt{11}) < 0$$ находится в интервале $$7 < x < 7 + \sqrt{11}$$.

Ответ: $$x \in (7; 7 + \sqrt{11})$$