Задание 20: Сократите дробь \(\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}\) .

**Решение:** 1. **Представим числа в виде степеней простых чисел:** \(100^n = (10^2)^n = (2 \cdot 5)^2n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}\) \(4^{n-2} = (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n-4}\) 2. **Подставим в дробь:** \(\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} = \frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2n-4}}\) . 3. **Разделим степени с одинаковыми основаниями:** При делении степеней с одинаковыми основаниями вычитаем показатели: \( \frac{2^{2n}}{2^{2n-4}} = 2^{2n - (2n-4)} = 2^{2n - 2n + 4} = 2^4 = 16 \) \( \frac{5^{2n}}{5^{2n-1}} = 5^{2n - (2n-1)} = 5^{2n - 2n + 1} = 5^1 = 5 \) 4. **Умножим полученные результаты:** \(16 \cdot 5 = 80\) **Ответ:** 80