Задание 22: В координатной плоскости Oху постройте график функции: \(y = \begin{cases} x^2-6x+11, & x \ge 2 \\ x+3, & x < 2 \end{cases}\) Найдите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

**Решение:** 1. **Анализ функции \(y = x^2 - 6x + 11\) при \(x \ge 2\):** Выделим полный квадрат: \(y = (x - 3)^2 + 2\). Это парабола с вершиной в точке \((3, 2)\). Так как \(x \ge 2\), то рассматриваем часть параболы справа от \(x = 2\). При \(x = 2\): \(y = (2 - 3)^2 + 2 = 1 + 2 = 3\). 2. **Анализ функции \(y = x + 3\) при \(x < 2\):** Это прямая с угловым коэффициентом 1 и смещением 3. При \(x = 2\) (не включая), \(y = 2 + 3 = 5\). Когда x приближается к 2, y стремится к 5. 3. **Найдем значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) имеет две общие точки с графиком:** * Когда \(m = 2\), прямая \(y = 2\) касается параболы в вершине \((3, 2)\), но не пересекает прямую \(y = x + 3\) при \(x < 2\). Таким образом, только одна общая точка. * Когда \(m = 3\), прямая \(y = 3\) проходит через точку \((2, 3)\) на параболе и пересекает прямую \(y = x + 3\) при \(x < 2\) (например, при \(x = 0, y = 3\)). Таким образом, две общие точки. * Когда \(3 < m < 5\), прямая пересекает параболу в двух точках и не пересекает прямую (так как для прямой \(y < 5\)). * Когда \(m=5\), прямая пересекает параболу в двух точках и стремится к точке (2,5) прямой y = x+3, т.е. у нас тоже два решения. **Ответ:** \(m = 3\) или \(m \ge 5\).