Задание 36: В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна \(3\sqrt{39}\). Найдите sin∠ABC.

В прямоугольном треугольнике ABC, sin∠ABC = \(\frac{AC}{AB}\). Нам известно AC = 20. Нужно найти AB. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: \(CH^2 = AH \cdot HB\). Также, из подобия треугольников ABC и CHB следует, что \(\frac{AC}{BC} = \frac{CH}{AB}\). Нам также известно, что \(AC^2 = AH \cdot AB\) и \(BC^2 = BH \cdot AB\). Нам нужно найти AB, зная AC и CH. Т.к. CH - высота, \(\triangle AHC\) - прямоугольный. Тогда \(AH = \sqrt{AC^2 - CH^2} = \sqrt{20^2 - (3\sqrt{39})^2} = \sqrt{400 - 9 \cdot 39} = \sqrt{400 - 351} = \sqrt{49} = 7\). Из \(AC^2 = AH \cdot AB\) следует, \(AB = \frac{AC^2}{AH} = \frac{20^2}{7} = \frac{400}{7}\). Тогда, \(sin∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{\frac{400}{7}} = 20 \cdot \frac{7}{400} = \frac{140}{400} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0.35\). Ответ: sin∠ABC = 0.35.