Задание 1: Докажи, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей

Решение:

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если её знаменатель \( q \) удовлетворяет условию \( |q| < 1 \).

Чтобы доказать, что данная прогрессия является бесконечно убывающей, нужно найти её знаменатель \( q \) и проверить, выполняется ли условие \( |q| < 1 \).

Пример из задания:

\( b_1 = \frac{1}{5}, b_2 = \frac{1}{25}, b_3 = \frac{1}{125}, ... \)

Найдем знаменатель \( q \) по формуле \( q = \frac{b_{n+1}}{b_n} \):

\( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{25} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \)

Так как \( q = \frac{1}{5} \) и \( |\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} < 1 \), то данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: Чтобы доказать, что прогрессия бесконечно убывающая, необходимо вычислить её знаменатель \( q \) и проверить условие \( |q| < 1 \).