Задание 4: Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, определяющейся по формуле b_n = 3 \(\cdot\) \(\frac{1}{2}\)^n

Решение:

Формула n-го члена прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). В данном случае формула дана как \( b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2})^n \). Чтобы привести её к стандартному виду, нужно преобразовать:

\[ b_n = 3 \cdot (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} \]

Из этого следует, что:

1. Первый член прогрессии: \( b_1 = \frac{3}{2} \).
2. Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{1}{2} \).
3. Проверим условие бесконечно убывающей прогрессии: \( |q| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1 \). Условие выполняется.
4. Найдем сумму по формуле \( S = \frac{b_1}{1 - q} \):

\[ S = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3 \]

Ответ: 3.