Задание 1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x³ – 2x² + 1 в точке x₀ = 2.

Решение:

1. Найдем производную функции \( y = x^3 - 2x^2 + 1 \): \( y' = 3x^2 - 4x \).
2. Вычислим значение производной в точке \( x_0 = 2 \): \( y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 3(4) - 8 = 12 - 8 = 4 \).
3. Найдем значение функции в точке \( x_0 = 2 \): \( y(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 1 = 8 - 2(4) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1 \).
4. Уравнение касательной имеет вид \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \). Подставим найденные значения: \( y - 1 = 4(x - 2) \)
5. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду: \( y - 1 = 4x - 8 \) \( y = 4x - 7 \)

Ответ: \( y = 4x - 7 \).