Ответ:

  1. загарать на солнце — корень -гар-/-гор-: в безударном положении пишется о, под ударением — а.
  2. прикоснуться к руке — корень -кас-/-кос-: перед суффиксом -а- пишется а, без него — о.
  3. собирать грибы — корень -бер-/-бир-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  4. блестящий успех — корень -блест-/-блист-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  5. вытереть пыль — корень -тер-/-тир-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  6. застелать постель — корень -стел-/-стил-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  7. растирать мазь — корень -тер-/-тир-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  8. запереть дверь — корень -пер-/-пир-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.
  9. предложить помощь — корень -лаг-/-лож-: перед ж пишется о, перед г — а.
  10. вычесть из суммы — корень -чет-/-чит-: перед суффиксом -а- пишется и, без него — е.

Ответ: загорать, прикоснуться, собирать, блестящий, вытереть, застилать, растирать, запереть, предложить, вычесть.